Hình học của số phức

Số phức ai cũng được học qua, nhưng để lại phần lớn trong mọi người những bí ẩn khó hiểu. Cách đặt vấn đề trong những giáo trình đại cương không toát ý, làm cho mọi diễn giải về số phức sau đó trở thành một môn học khô khan, thậm chí đôi khi còn mang lại cảm giác thần bí, hư hư thực thực. Bài viết này tôi muốn làm sáng tỏ vấn đề số phức, xây dựng lại hệ thống định nghĩa và các tính chất, mang lại góc nhìn có lợi nhất cho ứng dụng trong vật lý - kĩ thuật.

Tiên đề j^2 = -1

Số phức theo định nghĩa thông thường là một số z = a+jb, gồm hai thành phần: phần thực a và phần ảo b. Phức ở đây có nghĩa là sự pha trộn giữa thực ảo. j – được gọi là đơn vị ảo và có tính chất vô cùng độc đáo:

j^2 = -1.

Và mọi chuyện trở nên tăm tối!

Người học phải hốt hoảng: chuyện gì xảy ra thế này, số gì lạ lùng khi bình phương lên lại bằng -1, một số âm! Một số bất kì bình phương lên phải cho ra số dương chứ! Ấy vậy chúng ta phải chấp nhận nó. j^2 = -1 chính là một tiên đề. Các nhà toán học thích kiểu tiếp cận như thế, vừa đơn giản mà lại rất chặt chẽ cho các lập luận tiếp theo. Họ bỏ qua sự hoang mang của người học và nêu cao tinh thần khoa học kiểu tiên đề. Còn người học cay đắng nhận ra rằng, thế giới thật là hư ảo, đến con số cũng hư ảo, dòng điện cũng có thành phần ảo, thời gian trở thành tham số ảo...

Thật ra, tất cả chỉ là sự hiểm lầm. Mọi đại lượng đều có thực, không có gì hư ảo ở đây. Chính ý muốn đơn giản hoá cách đặt vấn đề bằng tiên đề j^2 = -1 vô tình làm cho các hệ quả sau nó lại phức tạp hơn hi vọng.

j - toán tử quay

Trong bài viết này tôi phải nhấn mạnh lại rằng j không phải là đơn vị ảo. j là toán tử quay 90^\circ áp dụng cho vector.

Cho vector (1,0), tức số 1 trên trục hoành, quay một góc 90^\circ bằng toán tử j, ta viết j1, và thu được vector (0,1), chính là số 1 trên trục tung. Giả sử cho toán tử j tác dụng hai lần lên số 1, tức (j^2)1, bằng cách quay vector (1,0) góc 90^\circ theo 2 lần, chúng ta thu được vector (-1,0), tức số -1 trên trục hoành. Đó là lý do tại sao j^2 lại bằng -1.

Bản chất của j không khác gì chính là phép quay quanh một trục.

Nếu muốn quay một góc bất kì, ví dụ 30^\circ, tức 1/3 của góc vuông, ta đưa 1/3 vào tầm tác dụng của toán tử j và viết thành j^{1/3} - chính là phép quay 30^\circ. Quả thật, nếu phép quay trên tác dụng 3 lần liên tiếp như thế:

\left(j^\dfrac{1}{3}\right)^3=j,

có nghĩa quay vector góc 30^\circ 3 lần liên tiếp sẽ ngang bằng với quay liền mạch 90^\circ.

Từ đây khi biểu diễn vector z = a+jb, ta hiểu rằng vector này được cấu thành từ hai thành phần hình chiếu: thành phần a theo trục hoành, và thành phần b bị quay 90 độ và hướng theo trục tung. Toán tử j phải là phép quay 90^\circ chứ không phải góc nào khác, bởi vì có như thế ta mới làm việc với hệ trực giao (cắt nhau vuông góc), rất thuận tiện khi tính toán. Nếu j là phép quay 60^\circ, ta vẫn biểu diễn được mọi số, nhưng các thành phần vector không phải trực giao nên các định lý sẽ có dạng phức tạp không cần thiết, đôi khi không thể biểu diễn. Điển hình như định lý Pythagor không thể biểu diễn một cách đơn giản r^2=a^2+b^2 như hệ trực giao (r – chiều dài của vector z).

Chuyển động tròn đều và biểu diễn Euler

Xét một chất điểm đang chuyển động tròn đều theo cung tròn bán kính R với vận tốc góc \omega. Lấy gốc toạ độ tại tâm đường tròn, toạ độ Descartes của chất điểm:

\begin{eqnarray}
x&=&R\cos{\omega t},\nonumber\\
y&=&R\sin{\omega t}.
\label{eq:x_y}
\end{eqnarray}

Theo các chứng minh hình học của bộ môn động học chất điểm, vận tốc dài \vec{v} và bán kính toạ độ \vec{r} có mối liên hệ như sau:

\begin{equation}
|\vec{v}|=\omega |\vec{r}|.
\label{eq:v_omega_r}
\end{equation}

Hơn nữa vận tốc \vec{v} luôn luôn tạo với bán kính \vec{r} một góc 90^\circ về phía ngược chiều kim đồng hồ. Do vậy theo định nghĩa về toán tử quay j ta có thể viết \eqref{eq:v_omega_r} thành:

\vec{v}=j\omega\vec{r}

hay

\begin{equation}
\frac{d\vec{r}}{dt}=j\omega\vec{r}.
\label{eq:vec_r}
\end{equation}

Ta biết rằng, hàm mũ e^x là hàm số duy nhất có đạo hàm tại mọi điểm luôn bằng chính nó:

\frac{de^x}{dx}=e^x.

Thành ra vector bán kính \vec{r} phải có dạng

\begin{equation}
\vec{r}=Re^{j\omega t}
\label{eq:vec_r_Re_omega_t}
\end{equation}

để phương trình \eqref{eq:vec_r} được thoả mãn.

Mặt khác \vec{r} cũng là vector vẽ thành quỹ đạo liên tục theo chuyển động tròn đều. Kết hợp với \eqref{eq:x_y}, ta có thể biểu diễn \vec{r} theo số phức:

\begin{equation}
\vec{r}=x+jy=R\left(\cos{\omega t}+j\sin{\omega t}\right).
\label{eq:vec_r_R_cos_sin}
\end{equation}

Từ \eqref{eq:vec_r_Re_omega_t}\eqref{eq:vec_r_R_cos_sin} ta có được hai cách biểu diễn của chuyển động tròn đều:

\begin{equation}
\vec{r}=x+jy=Re^{j\omega t}=R\left(\cos{\omega t}+j\sin{\omega t}\right),
\end{equation}

cũng như suy ra được đẳng thức quan trọng:

\begin{equation}
e^{j\varphi}=\cos{\varphi}+j\sin{\varphi},
\end{equation}

trong đó \varphi=\omega t là góc quay của vector. Kết quả trên còn gọi là  công thức Euler.

Chúng ta vừa chứng minh xong công thức Euler bằng phương pháp hình học. Trong phần lớn các tài liệu chuyên ngành, công thức Euler được chứng minh bằng phân tích chuỗi Taylor, sử dụng các định nghĩa hàm lượng giác theo chuỗi chứ không theo định nghĩa hình học.

Bây giờ chúng ta làm thao tác ngược lại. Vẫn xét một chất điểm đang chuyển động tròn đều theo cung tròn bán kính R với vận tốc góc \omega. Theo phép biểu diễn Euler, vector bán kính của chuyển động này có dạng:

\vec{r}=Re^{j\omega t}

Vận tốc của chất điểm là đạo hàm của toạ độ:

\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{d}{dt}{Re^{j\omega t}}=j\omega Re^{j\omega t}=j\omega\vec{r}.

Ta thấy rằng vận tốc \vec{v} có độ lớn đúng bằng \omega r và luôn có hướng vuông góc với bán kính cung tròn quỹ đạo, bởi vì toán tử quay j tác dụng vào \omega\vec{r}.

Cũng từ phép biểu diễn Euler, phép quay 90^\circ=\dfrac{\pi}{2}, tức toán tử j, được biểu diễn thành:

j=e^{j\dfrac{\pi}{2}}.

Khi ấy, tác dụng của toán tử j lên số phức viết dạng Euler z=e^{j\varphi} biểu diễn như sau:

je^{j\varphi}=e^{j\dfrac{\pi}{2}}e^{j\varphi}=e^{j\left(\varphi+\dfrac{\pi}{2}\right)}

Rõ ràng toán tử j vừa tạo ra phép quay góc \varphi thêm 90^\circ.

Rất đặc biệt khi ta quay trở lại với j^2 tác dụng quay 180^\circ lên số 1 và biến nó thành -1:

\begin{eqnarray}
j^2&=&-1,\nonumber\\
e^{j\pi}&=&-1,\nonumber\\
e^{j\pi}+1&=&0.
\end{eqnarray}

Ta vừa thu được đẳng thức Euler, được xem là một trong những đẳng thức toán học đẹp đẽ nhất bởi nó chứa đựng đồng thời dấu đẳng thức, số 0, đơn vị số thực 1, đơn vị "số ảo" j, phép cộng, phép nhân, phép luỹ thừa, cùng hai hằng số vô cùng quan trọng là \pie.

j - toán tử tuyến tính

Phép quay j là một toán tử tuyến tính. Thực vậy. nó luôn tuân thủ tính kết hợp:

j(z_1\pm z_2) = jz_1\pm jz_2.

Ta hiểu tính chất kết hợp này như sau: việc cho hai vector cộng lại rồi lấy tổng vector ấy quay 90^\circ cũng tương đương với việc lần lượt quay riêng rẽ mỗi vector góc 90^\circ, rồi cộng chúng lại với nhau. Toán tử j cũng tuân thủ tính thuần nhất:

j(kz) = kjz.

Điều này được hiểu như sau: kéo dài vector z lên k lần rồi cho quay 90^\circ, cũng tương đương với việc cho z quay 90^\circ trước, rồi kéo dài nó thêm k lần.

Nhờ tính kết hợp và tính thuần nhất ấy, toán tử tuyến tính j hành xử không khác gì một phép nhân. Cho nên trong các tình huống bắt gặp số phức, ta thấy j như một thành tố được nhân vào mà ta hay quen gọi một cách không có lợi là đơn vị ảo. Nhờ phép tuyến tính này ta dễ dàng xây dựng các phép cộng (trừ), nhân (chia), luỹ thừa (khai căn). Phép cộng trừ hai số phức cũng chính là phép cộng trừ hai vector. Phép nhân của z_1=a_1+jb_1=r_1e^{j\varphi_1}z_2=a_2+jb_2=r_2e^{j\varphi_2} định nghĩa bằng sự chồng chập của phép quay:

z_1z_2=r_1r_2e^{j(\varphi_1+\varphi_2)},

có nghĩa: tích của hai số phức có modul bằng tích các modul và có góc quay bằng tổng các góc quay. Phép nhân của  z=re^{j\varphi} với chính nó tạo ra phép luỹ thừa:

z^n=r^ne^{jn\varphi}.

Phép khai căn của số phức mang lại vẻ đẹp thuận tiện về tính đối xứng. Căn bậc hai luôn có hai nghiệm, căn bậc 3 luôn có 3 nghiệm, căn bậc n luôn có n nghiệm v.v... Ví dụ ta muốn lấy căn bậc hai của 4, tức căn của vector (4,0), chỉ cần chia quỹ đạo quay của vector thành 2 nửa, một nghiệm sẽ cho vector (2,0) tức số 2, còn nghiệm kia cho ra vector (-2,0) tức -2. Thử lại, xét theo vector, (2,0) khi bình phương lên sẽ cho ra vector (4,0), vì góc quay của nó vốn bằng 0, quay thêm lần nữa cũng trùng hướng đó. Vector (-2,0) khi bình phương lên cũng vẫn cho ra vector (4,0), bởi vì (-2,0) có hướng 180^\circ, bình phương lên sẽ thành 360^\circ, tức 0^\circ. Nếu thử lại theo thành phần trục hoành, ta vẫn có được 2^2 = 4(-2)^2 = 4.

Nhớ lại rằng trong toán học thông thường, căn của 4 chỉ bằng 2, trong khi đó theo định nghĩa căn của 4 phải là số nào đó bình phương lên bằng 4, lúc này cả 2 lẫn -2 đều thoả mãn. Hai nghiệm dành cho căn bậc hai là kết quả hợp lý.

Toán tử j trong biểu diễn moment của sự quay

Ảnh đối xứng của z=a+jb qua trục hoành còn được gọi là số phức liên hợp z^*:

z^*=a-jb.

Phép nhân liên hợp giữa z_1=a_1+jb_1z_2=a_2+jb_2 định nghĩa như sau

\begin{eqnarray}
z_1^*z_2&=&(a_1-jb_1)(a_2+jb_2),\nonumber\\
&=&(a_1a_2+b_1b_2)+j(a_1b_2-a_2b_1).
\label{eq:lienhop}
\end{eqnarray}

Phần thực của phép nhân liên hợp \eqref{eq:lienhop} được gọi là tích vô hướng của hai vector:

z_1\cdot z_2=\Re(z_1^*z_2).

Phần ảo của phép nhân liên hợp \eqref{eq:lienhop} được gọi là tích có hướng của chúng:

z_1\times z_2=\Im(z_1^*z_2).

Lưu ý rằng tích vô hướng không phụ thuộc vào thứ tự sắp đặt của các vector:

\Re(z_1^*z_2)=\Re(z_2^*z_1).

Nhưng tích có hướng luôn chú ý đến thứ tự giữa chúng:

\Im(z_1^*z_2)\neq\Im(z_2^*z_1).

Xét tổng quát trường vector \vec{F}, cố tình chọn gốc toạ độ trùng với trục quay. Ta có:

\begin{eqnarray}
\vec{r}&=&x+jy,\nonumber\\
\vec{F}&=&F_x+jF_y.\nonumber
\end{eqnarray}

Moment của vector \vec{F} đối với trục quay có độ lớn bằng

\begin{equation}
|\vec{M}|=|\vec{r}\times\vec{F}|=|j(xF_y-yF_x)|=\Im(\vec{r}^*\vec{F}).
\end{equation}

Nếu \vec{F} là lực, ta có công thức tính moment của lực qua số phức, nếu \vec{F} là động lượng, ta lại có công thức tính moment động lượng. Chúng ta thấy rằng, sự quay có thể biểu diễn nhờ vào toán tử j, bởi nguyên nhân sâu xa rằng j là toán tử quay.

Toán tử j trong dao động điện từ

Trong lĩnh vực dao động và sóng, bao gồm cả dòng điện xoay chiều cũng như xử lý tín hiệu, toán tử j được áp dụng rất thành công nhờ quy sự dao động điều hoà thành hình chiếu của một chuyển động tròn. Do vậy không có gì khó hiểu khi trong các lĩnh vực này, số phức được áp dụng rộng rãi. Trong khi đó mọi đại lượng vật lý đều phải là số thực, quả thật số phức không hề đưa vào một thành phần “ảo” nào ở đây cả.

Chúng ta khảo sát dao động điện cưỡng bức do nguồn xoay chiều điều hòa với tần số \omega tác dụng lên hoạt động của các linh kiện R, L, C. Giả sử dòng điện có quy luật biến thiên

I=I_0\cos(\omega t).

Theo định nghĩa cường độ dòng điện I=dq/dt, hiệu điện thế giữa hai bản tụ bằng

U_C=\frac{q}{C}=\frac{1}{C}\int{I\,dt}.

Còn hiệu điện thế trên hai đầu cuộn cảm, theo định luật Faraday:

U_L=\frac{d\Phi}{dt}=L\frac{dI}{dt}.

Tích phân và đạo hàm của hàm \cos dễ dàng cho ra kết quả

U_C=\frac{1}{\omega C}I_0\cos(\omega t-\frac{\pi}{2}),

U_L=\omega LI_0\cos(\omega t+\frac{\pi}{2}).

Ta thấy rằng U_C chậm pha hơn dòng điện I một phần tư chu kỳ, còn U_L nhanh pha hơn I một phần tư chu kỳ.

Trong lĩnh vực điện từ người ta có cách biểu diễn các đại lượng dao động thông qua sự quay của vector, chúng ta sẽ không nói lại. Ở đây ta chỉ nhấn mạnh phép biểu diễn thông qua số phức, bằng cách viết lại các vector ấy nhờ vào toán tử j. Khi ấy:

I=I_0e^{j\omega t}.

Tích phân và đạo hàm hàm số trên sẽ cho ra U_CU_L dưới dạng vector:

U_C=\frac{1}{j\omega C}I_0e^{j\omega t}=\frac{1}{j\omega C}I,

U_L=j\omega LI_0e^{j\omega t}=j\omega LI.

Kết quả trên nói rằng, toán tử j có mặt làm vector U_C luôn vuông góc với vector I về phía chiều kim đồng hồ, và cũng làm cho vector U_L luôn vuông góc với I theo ngược chiều kim đồng hồ.

Có lần tôi nghe một người bạn nói, lên đại học mới biết rằng dòng điện là một đại lượng phức! Sự hiểu lầm đó là hậu quả của việc học toán máy móc. Xin nói lại, các đại lượng vật lý luôn luôn thực, nếu có j ở đâu đó, cần hiểu đó là phép quay vector. Và trong nhiều trường hợp, các vector đang diễn tả pha trạng thái của chuyển động, tức hình chiếu bóng của chúng.

Tốc độ lan truyền trường điện từ bằng tốc độ ánh sáng 300000 km/s. Do đó trên phạm vi bán kính <3000 km, dao động điện trường trên các đường dây tải điện vẫn mang các tính chất như của dòng điện không đổi, bởi tần số tần số 50 Hz của điện công nghiệp có thể nói là rất chậm so với các tần số bức xạ, vậy nên các định luật Kirchhoff vẫn sử dụng cho dòng điện xoay chiều. Phép tính số phức làm cho các tính toán mạch điện trở nên nhẹ nhàng, đơn giản.

Lưu ý rằng công suất không phải là tích của các số phức UI mà chỉ là thành phần tích vô hướng:

P=\Re(U^*I),

trong đó U^* là số phức liên hợp của U. Áp dụng tính toán cho trường hợp tụ điện và cuộn cảm:

U_C^*I=\frac{1}{j\omega C}I_0e^{-j\omega t}\cdot I_0e^{j\omega t}=\frac{1}{j\omega C}I_0^2,

U_L^*I=j\omega LI_0e^{-j\omega t}\cdot I_0e^{j\omega t}=j\omega LI_0^2.

Ta thấy rằng tích U_C^*IU_L^*I đều không có thành phần trục hoành, do vậy tụ điện lý tưởng và cuộn cảm lý tưởng không làm mất mát năng lượng:

P_C=\Re(U_C^*I)=0

P_L=\Re(U_L^*I)=0

Toán tử j trong cơ học lượng tử

Phương trình Schrödinger cổ điển, hay phi tương đối tính, có dạng như sau:

\begin{equation}
j\hbar\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x,t)+U(x)\psi(x,t),
\label{Schrodinger}
\end{equation}

trong đó \hbar - hằng số Plank, m - khối lượng vi hạt, U(x) - thế năng của trường lực tác dụng, \psi(x,t) - hàm sóng. Trong cơ học lượng tử cổ điển, phương trình Schrödinger đóng vai trò cơ sở như phương trình Newton trong cơ học cổ điển:

\frac{\partial^2x}{\partial t^2}=\frac{F(x)}{m}.

Phương trình Newton miêu tả quy luật thay đổi của toạ độ theo thời gian: chỉ cần biết trạng thái của hiện tại, ta sẽ biết trạng thái của vật tại thời điểm vô cùng gần sau đó. Từ đó toàn bộ chuỗi trạng thái tại mọi thời điểm sau đó đều được suy ra từ trạng thái ban đầu.

Trong cơ học cổ điển, khi có một lực F(x) tác động một cách tuần hoàn lên vật, toạ độ x của vật cũng thay đổi một cách tuần hoàn, là sự chồng chập của rất nhiều hàm lượng giác điều hoà. Điều ấy chỉ có thể xảy ra khi vế trái của phương trình Newton là đạo hàm bậc hai theo thời gian. Trong khi đó phương trình Schrödinger lại chỉ mang đạo hàm bậc nhất theo thời gian, nhưng ta vẫn thu được nghiệm dao động điều hoà của \eqref{Schrodinger} tại các trạng thái dừng:

\psi(x,t)=\Psi(x)\cdot e^{j\omega t}.

Trong đó \Psi(x) là nghiệm của phương trình dừng không phụ thuộc vào thời gian. Hàm \psi(x,t) sẽ dao động điều hoà theo thời gian với tần số \omega, còn \Psi(x) đóng vai trò như biên độ.

Như vậy, phương trình Schrödinger cũng như phương trình Newton, cũng miêu tả quy luật tiến hoá của trạng thái theo thời gian. Chỉ khác rằng, tốc độ biến thiên \dfrac{\partial\psi}{\partial t} được suy ra từ trạng thái của quá khứ cách đó 1/4 chu kỳ! Điều đó thể hiện qua toán tử j đặt trước biểu thức vừa nói. Toán tử j tạo ra tính quay tuần hoàn của hàm sóng.

Toán tử j trong bộ môn toán-lý

Sinh viên các ngành toán-lý có cơ hội đào sâu vào lĩnh vực số phức sẽ càng thấy rõ bản chất phép quay của toán tử j.

Định lý Cauchy (Cô-sy) dành cho hàm số phức nói rằng, nếu hàm số f(z) khả vi thì tích phân của hàm đó theo một đường cong khép kín bất kì luôn bằng 0:

\oint{f(z)dz}=0.

Cụm câu theo một đường khép kín đã nói lên bản chất vận động quay của vector. Định lý này tương ứng với định lý bảo toàn cơ năng: công của một trường vector xuyên tâm theo một đường cong kín bất kì luôn bằng 0. Thực vậy, trong trường xuyên tâm, các vector luôn có phương xuyên tâm và có độ lớn chỉ phụ thuộc vào bán kính dẫn đến tâm. Chúng luôn thoả mãn các điều kiện khả vi:

\frac{\partial F_x}{\partial x}=\frac{\partial F_y}{\partial y};\quad\frac{\partial F_y}{\partial x}=-\frac{\partial F_x}{\partial y}.

Cũng có nghĩa rằng, công của một trường lực xuyên tâm không phụ thuộc vào đường đi, chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối. Do vậy ta nói trường vector xuyên tâm là một trường bảo toàn. Bảo toàn cơ năng là một định lý, không phải định luật vì được chứng minh hoàn toàn toán học. Chỉ có bảo toàn năng lượng mới gọi là định luật.

Phải nói rằng, ở đâu có tính đối xứng tâm, đối xứng trục, hay tính tuần hoàn, ở đó có tính chất của hàm số phức. Các hàm số siêu việt xuất thân từ số phức như hàm Bessel, hàm Hankel, các hàm cầu... đều là hệ quả của tính chất quay của vector thông qua toán tử j, cho nên Bessel, Hankel, hàm cầu... ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán dao động của màng tròn, truyền nhiệt của thanh trụ tròn, lý thuyết nguyên tử khi làm việc với các moment quay... nói chung dành cho các hệ đối xứng trục.

Ngôn ngữ toán học của vector và số phức có sự tương hỗ trong các mô hình vật lý. Toán tử tịnh tiến làm nên vector, còn toán tử quay làm nên số phức. Do đó vector tương ứng với chuyển động tịnh tiến, còn số phức tương ứng với chuyển động quay.

16 bình luận về “Hình học của số phức

Trả lời

Thư điện tử của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *