Phương trình kinh tuyến

Trong một giờ cơ học của giáo sư Briskin về lực hấp dẫn của Trái Đất, ông đã nói rằng: Chúng ta vừa chịu lực hấp dẫn hướng về tâm Trái Đất, vừa chịu lực ly tâm do hiệu ứng Trái Đất quay, cho nên tổng hợp lực tác dụng lên chúng ta không hướng về tâm Trái Đất mà hướng về một điểm nào đó khác. 

Điều đó khá rõ ràng. Cũng chính vì lí do đó mà các phần của Trái Đất ở gần xích đạo có xu hướng bị bắn ra ngoài mạnh hơn, làm cho Trái Đất bị dẹt đi. Nhưng ông còn nói thêm rằng vì do có lực li tâm nên quả dọi, vốn hướng theo chiều của hợp lực, sẽ không hoàn toàn vuông góc với mặt đất nữa. Nói như ý của giáo sư thì thực ra chúng ta đang đi lom khom chứ không phải đi thẳng. Theo đó các công trình nhà cửa cầu cống vốn lấy thăng bằng nhờ các dụng cụ như quả dọi hay ống nước cũng là thăng bằng cục bộ, chứ thật ra vẫn lệch một góc nhỏ so với bề mặt chung của Trái Đất. Hình sau đây diễn tả ý tưởng đó:

Hình 1

Thực ra giáo sư cũng phụ chú thêm rằng hiệu ứng lực li tâm thực ra rất nhỏ. Nên hợp lực tác dụng lên vạn vật trên mặt đất không khác với lực hấp dẫn bao nhiêu. Chúng gần như trùng nhau. Do đó chúng ta đứng vẫn thấy bình thường, và các công trình vẫn đẹp đẽ nằm ngang trên mặt đất.

Nhưng tôi lại có ý nghĩ khác.

Tôi cho rằng trong quá trình tiến hóa của mình, Trái Đất đã tự biết điều chỉnh “bộ dạng” sao cho mặt đất luôn phẳng. Mặt đất, theo ý nghĩa tôi đang dùng, chính là phần diện tích nhỏ xung quanh chân chúng ta. Chúng có thể là cái sân, là cánh đồng, là miếng đất gì đó cũng được, miễn sao so với diện tích của toàn bộ bề mặt Trái Đất, nó chỉ cỏn con như cây kim trong bể. Điều đó có nghĩa: nếu như ta dọi một quả dọi xuống, thì nó sẽ vuông góc với mặt đất ta đang đứng, mặc dù quả dọi vẫn hướng theo phương của hợp lực chứ không phải theo phương của lực hấp dẫn. Nói một cách toán học hơn, sợi dây sẽ vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc với bề mặt Trái Đất tại điểm ta đang đứng. Ý tưởng được minh hoạ qua hình vẽ sau:

Quá trình hình thành và tự điều chỉnh bộ dạng của Trái Đất như thế nào, chúng ta không có đủ bằng chứng để đi sâu. Nhưng mọi việc sẽ dễ dàng hơn nếu ta giả sử rằng Trái Đất bản thân nó cấu tạo từ một khối chất lỏng, hoặc đơn giản hơn, vẫn cấu tạo từ dung nham, đất đá, nhưng toàn bộ bị bao phủ bởi chất lỏng. Ta chọn chất lỏng vì nó vừa có độ linh động để nhanh chóng thay đổi bộ dạng trong quá trình cân bằng lực, vừa có ranh giới bề mặt rõ ràng để ta khảo sát.

Bài toán đặt ra là: bề mặt chất lỏng của Trái Đất phải có hình dạng như thế nào để tại mọi điểm trên bề mặt ấy thỏa mãn hai điều kiện:
1. Cân bằng giữa các lực hấp dẫn, li tâm và phản lực.
2. Hợp của lực hấp dẫn và lực li tâm phải vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc.
Ta khai triển lời giải khi xét một mặt cắt của Trái Đất đi qua trục quay của nó. Phương hướng của bài toán là đi tìm phương trình của đường kinh tuyến.

Cho rằng vật đang nằm tại vĩ độ \alpha, tương ứng với các toạ độ x, y trên mặt phẳng mặt cắt. Các lực tác dụng lên vật nằm trên mặt đất bao gồm lực hấp dẫn \vec{P}, lực quán tính ly tâm \vec{F_c} và phản lực từ phía mặt đất \vec{N}. Theo điều kiện thứ hai, phản lực \vec{N} phải vuông góc với đường tiếp tuyến của mặt cong.

Để đơn giản việc tính toán, cho rằng lực hấp dẫn \vec{P} có độ lớn không đổi
\begin{equation}
P = G\frac{Mm}{R^2},
\end{equation}
trong đó G - hằng số hấp dẫn, M - khối lượng của Trái Đất, m - khối lượng của vật, R - bán kính trung bình của Trái Đất. Điều này có nghĩa rằng ta vẫn coi Trái Đất gần như tròn.

Lực ly tâm
\begin{eqnarray}
{F_c} & = & m{a} \nonumber \\
& = & m(\omega^2x) \nonumber \\
& = & m\omega^2R\cos{\varphi}.
\label{F_c}
\end{eqnarray}

Theo định luật Newton thứ hai dành cho hệ quy chiếu không quán tính gắn liền với Trái Đất quay, tổng hợp các lực tác dụng:
\begin{equation}
\vec{P}+\vec{F_c}+\vec{N} = 0.
\end{equation}

Để tránh khỏi việc đối mặt với lực \vec{N}, ta chỉ xét hình chiếu các lực theo phương tiếp tuyến:
\begin{equation}
{P}\cos(\varphi+\alpha) = {F_c}\cos\alpha.
\label{eq:P cos varphi alpha}
\end{equation}
Thế giá trị của F_c từ \eqref{F_c} vào \eqref{eq:P cos varphi alpha} thu được:
\begin{eqnarray}
P\cos\varphi\cos\alpha - P\sin\varphi\sin\alpha & =&  (m\omega^2R\cos\varphi)\cos\alpha, \nonumber \\
(P-m\omega^2R)\cos\varphi\cos\alpha & =&  P\sin\varphi\sin\alpha, \nonumber \\
\frac{P-m\omega^2R}{P} & = & \tan\varphi\tan\alpha.
\label{eq:5}
\end{eqnarray}
Ở đây để ý rằng \tan\varphi = \dfrac{y}{x}\tan\alpha = -\dfrac{dy}{dx}, thế vào \eqref{eq:5}
\begin{eqnarray}
1 - \frac{m\omega^2R}{\dfrac{GMm}{R^2}} & = & -\frac{ydy}{xdx}, \nonumber \\
1- \frac{\omega^2R^3}{GM} & = & -\frac{ydy}{xdx}.
\end{eqnarray}
Đặt 1- \dfrac{\omega^2R^3}{GM} = H, ta được
\begin{equation}
Hxdx = -ydy.
\end{equation}
Lấy tích phân hai vế:
\begin{eqnarray}
H\int{x\,dx} &=& -\int{y\,dy}, \nonumber \\
H\frac{x^2}{2} &=& -\frac{y^2}{2}+C.
\end{eqnarray}
Trong đó C là một tham số phụ thuộc vào điều kiện biên. Với điều kiện biên khi x = 0, y = R:
\begin{equation}
C = \frac{R^2}{2}.
\end{equation}
Như vậy
\begin{equation}
Hx^2+y^2 = R^2.
\end{equation}
Đưa về dạng chính tắc:
\begin{equation}
\frac{x^2}{\left(\dfrac{R}{\sqrt{H}}\right)^2}+\frac{y^2}{R^2} = 1.
\label{eq:chinhtac}
\end{equation}
Đây chính là phương trình đường elip!

Xét cụ thể hơn với

H = 1- \dfrac{\omega^2R^3}{GM} = 1-\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2\frac{R^3}{GM}.

Chu kì quay một vòng của Trái Đất T = 86400 s, bán kính trung bình R = 6.37\cdot 10^6 m, hằng số hấp dẫn G = 6.67\cdot 10^{-11} \mathrm{Nm^2/kg^2}, khối lượng Trái Đất M = 5974\cdot 10^{21} kg. Tính ra ta được H = 0.9965. Đối chiếu giá trị \sqrt{H} = 0.9982 vào phương trình \eqref{eq:chinhtac} ta thấy đường elip này cũng gần như tròn. Điều này phù hợp với giả thiết của chúng ta khi xem rằng R = const.

Thực ra lực hấp dẫn P = G\dfrac{Mm}{R^2} với R = const đang dùng ở đây không hoàn toàn phù hợp vì nó chỉ đúng cho Trái Đất hình cầu. Tuy nhiên theo kết quả trên thì công thức này vẫn có thể chấp nhận được.

Các biện luận nói trên có thể mở rộng ra cho bất kì thiên thể dạng lỏng hay khí nào đang quay và không quá dẹt.

Tâm sai của phương trình kinh tuyến thu được nói trên bằng:
\begin{eqnarray}
e &=& \sqrt{1-\left(\frac{R}{R/\sqrt{H}}\right)^2} \nonumber \\
&=& \sqrt{1-H} \nonumber \\
&=& \sqrt{\frac{\omega^2R^3}{GM}} \nonumber \\
&=& \omega R\sqrt{\frac{R}{GM}}.
\label{eq:tamsai}
\end{eqnarray}

Từ \eqref{eq:tamsai} ta thấy rằng độ dẹt của thiên thể tỉ lệ thuận với vận tốc quay của nó. Thiên thể nào càng quay nhanh, nó càng bị dẹt nhiều hơn. Kết quả này phù hợp với thực tế trực quan.

Khối lượng riêng trung bình của thiên thể
\begin{equation}
\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\dfrac{4}{3}\pi R^3}.
\label{eq:rho}
\end{equation}
Kết hợp \eqref{eq:rho} vào \eqref{eq:tamsai}, thu được:
\begin{equation}
e = \omega\sqrt{\frac{1}{4\pi\rho G}}.
\end{equation}
Công thức tâm sai này cho thấy khi khối lượng riêng \rho càng nhỏ, tức thiên thể có cấu tạo càng loãng, thì thiên thể càng bị dẹt nhiều.

Sau khi thay các số liệu vào công thức \eqref{eq:tamsai}, ta tính được tâm sai của đường kinh tuyến Trái Đất e=0.059, nghĩa là rất nhỏ.

Ta kiểm tra một vài số liệu khác về Trái Đất. Chu vi của TĐ tại xích đạo là 40075 km, còn chu vi đi qua hai cực là 40008 km. Chúng chỉ chênh nhau có 67km, bằng 0.2 % so với chu vi rộng lớn của quả đất. Nghĩa là Trái Đất rất tròn.

Để kết thúc, chúng ta tổng kết lại những luận điểm đã được rút ra từ bài toán:

  1. Bề mặt Trái Đất và các thiên thể phải có hình dạng sao cho tại mỗi điểm, mặt đất được nằm ngang.
  2. Phương trình của đường kinh tuyến là phương trình elip. Bán kính Trái Đất tính theo xích đạo (bán trục lớn) lớn hơn bán kính Trái Đất tính theo trục (bán trục bé) 1/sqrt(H) = 1.0018 lần, nghĩa là Trái Đất gần như tròn.
  3. Tâm sai của đường kinh tuyến elip e = \omega R\sqrt{\dfrac{R}{GM}}, nghĩa là hành tinh nào quay càng nhanh và có khối lượng riêng càng thấp (càng lỏng lẻo) thì càng bị dẹt nhiều.

13 bình luận về “Phương trình kinh tuyến

  1. Vĩ độ Phi chứ cậu. trên hình vẽ và công thức thì vĩ độ là Phi mà, cậu nhầm ở chỗ "giả sử vật đang nằm ở vĩ độ alpha"

Trả lời

Thư điện tử của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *